Seit seiner Jugendzeit spielte Navas für Deportivo Saprissa in der Primera División de Costa Rica. Mit der Mannschaft konnte er fünfmal die costa-ricanische Meisterschaft erringen und 2005 sogar den CONCACAF Champions’ Cup mit für Saprissa entscheiden.Am 7. Juli 2010 wechselte er zum spanischen Verein Albacete Balompié.

Dort wurde er auf Anhieb Stammtorwart. 2011 wurde er an UD Levante verliehen, und wurde dann 2012 gekauft.

Zum ersten Mal wurde Navas im August 2006 in die Nationalmannschaft Costa Ricas berufen. Beim CONCACAF Gold Cup 2009 wurde er zum besten Torhüter des Turniers ausgezeichnet. 

Mit ihm im Tor hat Costa Rica einen soliden Schlussmann.

Er gehörte dem Kader während der Weltmeisterschaft 2014 an, bestritt alle Gruppenspiele und auch das Achtelfinale, das er mit seiner Mannschaft mit 5:3 i. E. gegen die Auswahl Griechenlands gewann. Mit einem abgewehrten Strafstoß trug er wesentlich zum größten Erfolg in der Verbandsgeschichte, dem Einzug ins Viertelfinale, bei. Im Viertelfinalspiel gegen die Auswahl der Niederlande blieb er bis zur 120. Minute ohne Gegentreffer und schied mit seiner Mannschaft erst mit 3:4 im Elfmeterschießen aus dem Turnier aus. Während des Turniers wurde er dreimal zum Man of the Match gewählt.